Цепные дроби квадратных корней из целых чисел. Лекция 3 // Владимир Арнольд

Цепная дробь вещественного числа периодична если и только если это число удовлетворяет квадратному уравнению с целыми коэффициентами. (Лагранж) Всякая периодическая последовательность определяет такую цепную дробь, но для уравнений x²=Q или x² px q=0 c целыми коэффициентами периодические цепные дроби обладают удивительными специальными свойствами. Например, если длина периода равна 2, то один из членов периода делится на другой. Если длина периода нечетное число, то Q является суммой квадратов двух натуральных чисел. Однако если Q сумма квадратов, то длина периода может быть как четной, так и нечетной. Назовем число Q «красным», если длина периода цепной дроби нечетна. В курсе будут доказаны некоторые теоремы о «красных» числах и сформулированы новые гипотезы о них. Будет также обсуждено понятие равномерного распределения множеств точек в эвклидовых пространствах с применениями к распределениям простых и «красных» чисел. Никаких специальных предварительных знаний у слушателей не предполагается. Владимир Игоревич Арнольд (1937–2010) — доктор физико-математических наук, профессор, академик РАН. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна. 19–28 июля 2008 г.