Кубическое уравнение с двумя параметрами x3(a+b+1)x2+(ab+2a1)xaba+b+1=0 // Сергей Фролов / Математический Мирок

Решить кубическое уравнение с двумя параметрами x^3–(a b 1)x^2 (ab 2a–1)x–ab–a b 1=0. Поскольку коэффициентами уравнения являются полиномы от a и b, то можно предположить, что и корни уравнения также являются полиномами от a и b. Если это так, то в нашем распоряжении имеется произведение этих полиномов: в соответствии с формулами Виета, оно равно свободному члену исходного кубического уравнения, взятому с противоположным знаком. Но это произведение представляет собой полином второй степени, а значит, если наша гипотеза верна, то один из сомножителей — это полином нулевой степени, т. е. константа, не зависящая ни от a, ни от b. Эту константу можно попробовать угадать. После угадывания раскладываем на множители левую часть уравнения с помощью всё тех же самых формул Виета. Сначала — на линейный множитель и квадратичный, а затем — на три линейных. Последнее разложение фактически эквивалентно нахождению корней исходного уравнения.