Функциональная дифференциальная геометрия. Чтение 40. Репараметризация

Многое движется по спирали, и наш разбор книги на протяжении нескольких чтений тоже. Продолжаем сравнивать лагранжианы L₂ – лагранжиан движения свободной частицы, построенный по метрике g, – и L₁ = √(2·L₂). Мы обнаруживаем, что уравнениям Эйлера-Лагранжа как для L₂, так и для L₁ удовлетворяют геодезические, построенные по согласованной с метрикой g связности. Установив этот факт, задаёмся вопросом: а в чём тогда разница между L₂ и L₁? И обнаруживаем разницу в том, что L₂ задаёт ускорения для траекторий, а L₁ – нет. Это проявляется в двух аспектах. Во-первых, матрица масс ∂₂∂₂L₁ – вырожденная, и поэтому ускорения уравнение Эйлера-Лагранжа для L₁ не ограничивает. Во-вторых, ЭЛ-уравнение для L₁ допускает произвольную репараметризацию, а ЭЛ-уравнения для L₂ – только линейную (t ↦ a·t b). Дифференциальное уравнение F[q](t) = 0 можно репараметризировать через f, если F[q] = 0 ⇔ F[q∘f] = 0. Функция f, соответственно, это функция из вещественных чисел в вещественные. Линейная репараметризация означает, что мы бежим по траектории с другими скоростями и из другой начальной точки, но с теми же ускорениями. Душещипательные подробности с формулами можно посмотреть здесь и здесь #физика, #геометрия и #lisp, #иммуроран и современный #матан