Доказать, что среди чисел 2ksqrt(2) бесконечно много составных // Сергей Фролов / Математический Мирок

Доказать, что среди чисел [2^k·sqrt(2)] бесконечно много составных ([x] — целая часть x). Для решения задачи достаточно доказать, что среди чисел данного вида бесконечно много чётных. Будем доказывать это по принципу “от противного“. Предположим, что утверждение о том, что среди чисел данного вида бесконечно много чётных, неверно. Тогда, начиная с некоторого номера n, все числа a_k = 2^k·sqrt(2) имеют нечётные целые части. Отталкиваясь от данного предположения, приходим к тому, что дробные части чисел a_k, начиная с некоторого k, больше или равны единице, чего не может быть. Это противоречие опровергает первоначальное предположение.