Доказать, что интеграл от sqrt(sin(x)) по отрезку 0,1 меньше 0,8 // Сергей Фролов / Математический Мирок

Без помощи калькулятора доказать, что что определённый интеграл от функции sqrt(sin(πx)) на промежутке [0,1] меньше 0,8. Для решения задачи выполним замену переменной t=πx, после чего перейдём от исходного интеграла к удвоенному интегралу по половине промежутка интегрирования (это позволяет сделать симметричность графика подынтегральной функции sqrt(sin(t)) относительно прямой t=π/2). Далее аппроксимируем функцию sin(t) функцией f(t), график которой представляет собой двухзвенную ломанную, состоящую из отрезков касательных к графику функции y=sin(t) в точках координатами (0,0) и (1,π/2). Из легко доказываемого неравенства sin(t)≤f(t), выполняющегося на промежутке [0,π/2], следует и справедливость равенства sqrt(sin(t))≤sqrt(f(t)), выполняющегося на том же промежутке. Переходим от неравенства функций к неравенству определённых интегралов от них на промежутке [0,π/2]. Для решения задачи остаётся лишь вычислить определённый интеграл от функции sqrt(f(t)) и оценить его сверху.