Процессы с генерацией и транспортом частиц. Спектральный подход

В рамках спецсеминара «Спектральная теория дифференциальных операторов» Доклад посвящен стохастическим процессам с непрерывным временем, которые могут быть описаны в терминах размножения, гибели и транспорта частиц. Такие процессы на многомерных решетках называют ветвящимися случайными блужданиями, а точки решетки, в которых может происходить рождение и гибель частиц, — источниками ветвления. Особое внимание в докладе будет уделено анализу асимптотического поведения численностей частиц и их моментов для симметричных ветвящихся случайных блужданий с конечным источников ветвления и конечным или бесконечным числом исходных частиц при различных предположениях о дисперсии скачков случайного блуждания. Поведение моментов численностей частиц во многом определяется структурой спектра эволюционного оператора средних численностей частиц и требует для исследования ряда моделей привлечения спектральной теории операторов в банаховых пространствах. Доказательство некоторых предельных теорем о ветвящихся случайных блужданиях с конечным числом источников и псевдо-источников, в которых допускается нарушение симметрии случайного блуждания, основано на проверке условий, гарантирующих единственность определения предельного вероятностного распределения численностей частиц своими моментами. Для ветвящихся случайных блужданий с источниками ветвления в каждой точке решетки, в которых закон размножения и гибели частиц описывается критическим ветвящимся процессом, приводятся предельные теоремы о поведении популяций и субпопуляций частиц. Одним из новых направлений в теории ветвящихся случайных блужданий является исследование многотипных ветвящихся случайных блужданий с источниками ветвления в каждой точке решетки как в неслучайной, так и в случайной «ветвящейся» среде. Будет представлен ряд результатов численного моделирования ветвящихся случайных блужданий и обсуждаться возможность применения таких процессов в медицине и генетике.