Найти произведение косинусов вида cos(k/(2n+1)), где k от 1 до n // Сергей Фролов / Математический Мирок

Найти произведение косинусов вида cos(𝝅k/(2n 1)), где k изменяется от 1 до n. Решить задачу нам помогут элементы теории комплексных чисел. В основе решения будет лежать вспомогательное произведение сумм единицы и всех значений комплексного корня из единицы степени 2n 1, записанных в показательной форме. Это произведение несложно найти, если использовать элементарные знания из теории полиномов и алгебраических уравнений. Оказывается, что это произведение не зависит от n, то есть является константой. С другой стороны, это вспомогательное произведение можно, используя формулу Эйлера, свойства комплексно сопряжённых чисел и тригонометрические формулы, выразить через искомое произведение, в результате чего получить простейшей уравнение относительно искомого произведения.