Как найти предел последовательности, n-й член которой равен полусумме двух предыдущих // Сергей Фролов / Математический мирок

Числовая последовательность {c_n} задана следующим образом: c_1=a, c_2=b, c_n=(c_(n-1) c_(n–2))/2 при n ≥ 3. Требуется найти её предел. Идея решения заключается в следующем. Преобразуя рекуррентное соотношение, приходим к равенству, связывающему разности последующих членов последовательности и предыдущих. Вводим в рассмотрение новую числовую последовательность, общий член который равен c_n−c_(n–1). В результате получаем для новой последовательности рекуррентное соотношение, гораздо более простое, чем то, которое фигурирует в условии задачи. Без труда получаем формулу общего члена новой последовательности. Возвращаемся к исходной последовательности и выражаем её общий член через сумму первого члена и суммы членов новой последовательности с номерами от 2 до n. Последняя сумма представляет собой сумму членов геометрической погрешности и легко выражается через n. В итоге получаем формулу общего члена исходной погрешности, что позволяет достаточно легко найти её предел.