Für das Studium und die Auslandsaufenthalte erhielt Kleber Stipendien der Studienstiftung des deutschen Volkes und des Deutschen Akademischen Austauschdienstes (DAAD). Nach dem zweiten Staatsexamen war Kleber als Anwalt in einer auf internationales Wirtschafts- und Wettbewerbsrecht ausgerichteten Kanzlei in Stuttgart tätig. 1986 wurde er an der Juristischen Fakultät in Tübingen mit der Schrift Privater Rundfunk -- Gestaltungsmöglichkeiten im Verfassungsrahmen zum Dr. iur. promoviert. Im Januar 1985 wurde Kleber Studioleiter des Südwestfunks in Konstanz und wechselte nach Abschluss seiner Promotion ins journalistische Fach. Seit 1986 berichtete er fünfzehn Jahre lang als Korrespondent für ARD-Anstalten sowohl in Hörfunk- als auch in Fernsehbeiträgen aus den USA. Er stieg vom Hörfunkredakteur zum Studioleiter in Washington D.C. auf. Von dort berichtete Kleber live über die Terroranschläge am 11. September 2001. Vor seinem Wechsel zum ZDF war Kleber zuletzt ARD-Studioleiter in London.
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