Квантование, полиномиальные автоморфизмы и проблема Якобиана // Алексей КанельБелов / ЛШСМ 2022

Пусть F: C^n → C^n — полиномиальное отображение комплексного пространства в себя. Когда оно обратимо? Необходимым условием является локальная обратимость в каждой точке. Знаменитая проблема Якобиана утверждает, что это условие является достаточным. В течение более чем 20 лет, вплоть до 1968 года, проблема Якобиана считалась решённой для n=2, с тех пор каждые несколько месяцев появляются новые «доказательства». С проблемой Якобиана тесно связана гипотеза Диксмье, формулировка которой для n=1 выглядит невинно: пусть P, Q — многочлены от x и (d/dx), причём PQ–QP=1. Верно ли, что (d/dx) можно выразить через P и Q. Это утверждение до сих пор не доказано. Недавно удалось доказать эквивалентность этого утверждения проблеме Якобиана для n=2. Стабильная эквивалентность гипотезы Якобиана и Диксмье доказана в работе arXiv:math/0512171. Доказательство использует аналогию между классическими и квантовыми объектами. Предполагается дать элементарное объяснение этой аналогии, а также обсудить гипотезы Концевича. Первая часть доклада является введением в проблему и предполагает быть вполне элементарной. Другое, близкое, утверждение именуется теоремой Абьенкара—Моха и выглядит как олимпиадная задача (каковой и является). Пусть P, Q, R — многочлены, причём R(P(x),Q(x))=x. Доказать, что либо степень P делит степень Q, либо наоборот. Канель—Белов Алексей Яковлевич — доктор физико-математических наук. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна 28 июля 2022 г.