Guest
0:00 Давайте начнём 3:53 Рекомендуемая литература 7:40 Линейное пространство над произвольным полем 15:39 Линейная зависимость. Ранг и база системы векторов 17:49 Определение (ЛЗ система векторов) 23:47 Определение (База системы векторов) 29:05 Теорема 1 (Об образовании базы подсистемой системы векторов) 38:43 Определение (Ранга системы) 40:35 Определение (Эквивалентные системы векторов) 45:40 Теорема 2 (О рангах системы векторов, которые выражаются через друг-друга) 52:52 Базис и размерность 56:41 Определение (Базис линейного пространства V) 1:01:29 Определение. (Размерность пространства) 1:04:20 Теорема (О дополнении до базиса всякой ЛНЗ системы векторов) 1:12:42 Изоморфизм линейных пространств 1:17:10 Определение (Изоморфные линейные пространства) 1:23:12 Теорема (Изоморфность двух конечномерных линейных пространств) _____________________ Следующие лекции: №2: Линейное подпространство. Линейная оболочка. Сумма и пересечение линейных подпространств. Теорема о размерности суммы и пересечения. Прямая сумма линейных подпространств. Критерии прямой суммы. №3: Теорема о разложении в прямую сумму двух подпространств. Дополнительное подпространство. Линейное аффинное многообразие. Теоремы о пересечении линейных многообразий. Евклидовы и унитарные пространства. Понятие скалярного произведения, его простейшие свойства. Неравенство Коши–Буняковского. №4: Основные метрические понятия. Длина вектора. Неравенство треугольника. Тождество параллелограмма. Угол между векторами в евклидовом пространстве. Ортогональные векторы. Ортонормированный базис. Теорема о координатах вектора в ортонормированном базисе. Теорема о вычислении скалярного произведения. Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. QR-разложение. Матрица Грама, ее свойства. №5: Ортогональное дополнение. Теорема об ортогональном разложении. Ортогональная проекция и перпендикуляр. Решение задачи о перпендикуляре. Линейное аффинное многообразие в евклидовом (унитарном) пространстве. Нормальный вектор. Изометрия пространств. Линейные операторы. Определение и простейшие свойства. Примеры: оператор дифференцирования в пространстве многочленов, оператор проектирования. №6: Матрица линейного оператора. Координаты вектора и его образа. Теорема о преобразовании матрицы линейного оператора при замене базисов. Линейное пространство операторов. Умножение линейных операторов. Образ и ядро оператора. Описание образа через линейную оболочку. Теорема о ранге и дефекте. №7: Каноническая пара базисов. Линейные формы. Сопряженное пространство. Обратный оператор. Критерии обрати-мости. Структура линейного оператора в комплексном пространстве. Инвариантные подпространства. Индуцированный оператор. №8: Собственные значения и собственные векторы. Теорема о линейной независимости собственных векторов. Характеристический многочлен и его корни. Неустойчивость кратного собственного значения относительно малых возмущений. Теорема о существовании собственного вектора в комплексном пространстве. Собственное подпространство. Алгебраическая и геометрическая кратности, связь между ними. №9: Теорема о прямой сумме собственных подпространств. Операторы простой структуры. Критерии простоты структуры оператора. Жорданова клетка. Треугольная форма матрицы линейного оператора. Нильпотентный оператор. Теорема о линейной независимости цепочки векторов. Прямая сумма операторов. Теорема о разложении вырожденного ненильпотентного оператора в прямую сумму нильпотентного и обратимого операторов. №10: Корневые подпространства. Понятие корневого вектора. Расщепление пространства в прямую сумму корневых подпространств. Жорданов базис и жорданова матрица линейного оператора в комплексном пространстве. Критерий подобия матриц. Теорема Гамильтона-Кэли. Аннулирующий многочлен. Минимальный многочлен №11: Возведение матрицы в натуральную степень. Инвариантные подпространства минимальной размерности. Вещественный аналог жордановой формы. Сопряженный оператор. Существование и единственность. Матрица сопряженного оператора. Нормальный оператор и нормальная матрица. №12: Блочно-диагональная форма вещественной нормальной матрицы. Ортогональные дополнения ядра и образа линейного оператора. Унитарные операторы и унитарные матрицы. Спектральная характеристика унитарного оператора. Блочно-диагональная форма ортогональной матрицы. Эрмитовы операторы и эрмитовы матрицы. №13: №14: №15: №16: №17: №18: №19: №20: №21:
