Как найти площадь сердечка, ограниченного кривой x+(ysqrt(|x|))=1 // Сергей Фролов / Математический мирок

Найти площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением x² (y−sqrt(|x|))²=1. Для решения задачи заметим, что кривая, ограничивающая фигуру, а, значит, и сама фигура, симметричны относительно оси ординат (данное утверждение следует из чётности функции двух переменных x² (y−sqrt(|x|))²−1 по x). Это означает, что можно найти площадь «правой» половины фигуры, а затем удвоить полученный результат. Теперь, поскольку мы рассматриваем точки фигуры, имеющие неотрицательные абсциссы, мы можем опустить знак модуля в исходном уравнении кривой. Рассмотрим исходное уравнение (уже без модуля) как квадратное относительно y и решим его. Получим уравнения двух кривых, ограничивающих половину нашей фигуры сверху и снизу. Находим область определения функций, зависящих от x, фигурирующих в уравнениях кривой: [0, 1]. Остаётся лишь найти площадь половины фигуры с помощью хорошо известной формулы, выражающей площадь через определённый интеграл и удвоить её. Интеграл находим, используя его геометрический смысл (площадь криволинейной трапеции под графиком функции).