Теория внутренних множеств аксиоматический подход к нестандартному анализу. Семинар 4 // Станислав Сперанский / ЛШСМ 2023

Один из ярких примеров применения методов математической логики — строгое обоснование «нестандартного анализа», которое позволило полностью легитимизировать метод актуальных бесконечно малых, восходящий к Лейбницу и Ньютону. Интуитивно поле вещественных чисел при этом расширяется до поля «гипервещественных чисел», которое содержит бесконечно малые и бесконечно большие (по сравнению с обычными числами) элементы. В рамках современного нестандартного анализа можно дать строгие определения предела, производной и интеграла в духе Лейбница и Ньютона (без использования эпсилон-дельта техники), а также придать точный смысл выражениям вроде «функция равномерно непрерывна, если она переводит бесконечно близкие аргументы в бесконечно близкие значения». Цель данного мини-курса — познакомить слушателей с одним популярным подходом к нестандартному анализу, называемым «теорией внутренних множеств». Как известно, в основе современной математики лежит теория множеств, а точнее — соответствующая ей аксиоматическая система Цермело–Френкеля с аксиомой выбора, обозначаемая через ZFC. В рамках ZFC обычные математические объекты вроде натуральных или вещественных чисел отождествляются с множествами специального рода. Теория внутренних множеств, обозначаемая через IST, — особая аксиоматическая система на основе ZFC, которая позволяет говорить о бесконечно больших гипернатуральных числах, бесконечно больших и малых гипервещественных числах и так далее. Многие рассуждения из области математического анализа и теории меры становятся «радикально элементарными» в IST. Предполагается знакомство с базовыми обозначениями и терминологией из области теории множеств. План: Аксиоматическая теория множеств. Система Цермело–Френкеля (ZF). Представление обычных математических объектов в теории множеств. Аксиома выбора (C). Аксиомы теории внутренних множеств (IST). Бесконечно большие и бесконечно малые числа. Определения предела и производной в терминах бесконечно малых. Примеры доказательств в «нестандартном анализе». Материалы: Сперанский Станислав Олегович — кандидат физико-математических наук. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна, 19-24 июля 2023 г.