Деление без зависти деньрожденного пирога // Гаянэ Панина

Представим, что r друзей (каждый со своими собственными предпочтениями) собираются поделить деньрожденный пирог, представленный в виде отрезка [0,1]. Они планируют сделать r−1 разреза, и затем распределить полученные r кусков так, чтобы друзья не завидовали друг другу. Классическая теорема Гейла говорит, что такое деление без зависти существует при стандартных предположениях: (1) предпочтения замкнуты, и (2) друзья голодны, то есть, никто не предпочтёт вырожденный кусок пирога. Мы покажем, что если r – простое число, то можно опустить условие (2), а также возможно обогатить наш сценарий: После того, как пирог разрезан, куски раскладывают по тарелкам, стоящим на круглом столе, не более одного куска в тарелку. После этого каждый из друзей делает свой выбор, указывая на одну (или несколько) наиболее предпочитаемых тарелок. При этом выбор может зависеть не только от содержания выбранной тарелки, но и от общего расположения кусков, например, от содержания соседних тарелок. В этом случае для деления без зависти достаточно замкнутости предпочтений. Далее мы вводим фигуру дракона. Есть два сценария. 1. Собрались r−1 друзей, они делят пирог на r частей. Когда пирог разрезан и разложен по тарелкам, дракон забирает одну, причём его предпочтения никому не известны. Друзья должны иметь возможность распределить оставшиеся тарелки, не завидуя ни друг другу, ни дракону. 2. r 1 друзей делят пирог на r частей. После этого приходит свирепый дракон и съедает одного из друзей. Задача: надо разделить пирог так, чтобы независимо от того, кого именно съест дракон, оставшиеся друзья могли бы распределить тарелки с пирогом без зависти. Доказательства использует методы эквивариантной топологии и комбинаторный анализ конфигурационных пространств. Доклад основан на препринте arXiv:; мы также упомянем результаты С. Аввакумова, Р. Карасёва, F. Meunier, F.E. Su и других. Панина Гаянэ Юрьевна — доктор физико-математических наук. Конференция “Геометрия, топология и математическая физика” к 85-летию С.П. Новикова и 80-летию В.М. Бухштабера, 11 апреля 2023 г.