Дифференциальное уравнение 2cos(x)2y''sin(2x)y'2y=sin(x) // Сергей Фролов / Математический мирок

Решить дифференциальное уравнение 2cos(x)^2·y''−sin(2x)·y'−2y=sin(x) при x∈(−π/2, π/2). Данное обыкновенное дифференциальное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением 2-го порядка. Структура его общего решения хорошо известна. Общее решение данного дифференциального уравнения равно сумме общего решения однородного дифференциального уравнения, соответствующего данному неоднородному, и некоторого частного решения исходного неоднородного дифференциального уравнения. А общее решение линейного однородного дифференциального уравнения равно линейной комбинации двух линейно независимых частных решений этого уравнения. Но решить данное дифференциальное уравнение можно, не зная структуры его общего решения. Для этого можно выполнить преобразования, которые приведут к тому, что левая часть уравнения будет представлена производной выражения, содержащего только y', y и х, а правая часть будет являться функцией от x. Непосредственное интегрирование левой и правой частей уравнения позволит понизить его порядок. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение 1-го порядка, полученное в результате этого понижения порядка, легко решается.