Guest
Со времен изобретения Джеймсом Уаттом паровой машины стояла задача построения шарнирного механизма, переводящего движение одного шарнира по окружности в движение другого шарнира по прямой. То есть спрямляющего механизма, или прямила. Долгое время ученые и инженеры не могли решить эту задачу, строили приближенные прямила, где ведомый шарнир ходил не строго по прямой, но рядом, не очень далеко удаляясь от нее. А окончательно решить задачу создания прямила помогла красивая математика. Напомним, что инверсией на плоскости относительно окружности называется взаимнооднозначное отображение внутренности окружности (за исключением одной точки — центра) на всю внешность окружности. Образом точки А является точка А’, лежащая на луче, выходящем из центра окружности и проходящем через точку А. Расположение на луче определяется равенством ОА•ОА’=R². С помощью инверсии в геометрии решается много интересных задач. Как мы увидим, преобразование инверсии позволяет решать не только теоретические задачи. Рассмотрим шарнирный механизм с одним закрепленным красным шарниром. К концам двух длинных звеньев, имеющих одинаковую длину, прикреплен шарнирный ромб. Этот механизм реализует инверсию относительно окружности с центром в закрепленном шарнире и радиусом, зависящим от длины звеньев механизма. С помощью нашего механизма посмотрим, какими свойствами обладает отображение инверсии. Из самого определения инверсии понятно, что образом отрезка, лежащего на прямой, проходящей через центр инверсии, является отрезок, снова лежащий на этой же прямой. Образом отрезка, лежащего на прямой, не проходящей через центр инверсии, является дуга окружности, проходящей через центр инверсии. Окружность, не проходящая через центр инверсии и не пересекающаяся с окружностью инверсии, переводится механизмом снова в окружность. Инверсия сохраняет углы между кривыми, однако меняет их ориентацию. Такие преобразования в математике называются антиконформными (конформные — те, которые сохраняют и уг
