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© Kurt Gödel / Quadro Film / RAI Educational / 2001 Argomenti: Kurt Gödel, La matematica è completa? La matematica è coerente? La matematica è decidibile? Logica matematica, Filosofia della matematica, I fondamenti della matematica, L'intuizionismo, Il logicismo, Il formalismo, I teoremi di incompletezza di Gödel, La vita di Kurt Gödel. In logica matematica, i teoremi di incompletezza di Gödel sono due famosi teoremi dimostrati da Kurt Gödel nel 1930. Gödel annunciò il suo primo teorema di incompletezza in una tavola rotonda a margine della Seconda Conferenza sull'Epistemologia delle Scienze Esatte di Königsberg. John von Neumann, presente alla discussione, riuscì a dimostrare il teorema per conto suo verso la fine del 1930 e, inoltre, fornì una dimostrazione del secondo teorema di incompletezza, che annunciò a Gödel in una lettera datata 20 novembre 1930. Gödel aveva, nel frattempo, a sua volta ottenuto una dimostrazione del secondo teorema di incompletezza, e lo incluse nel manoscritto che fu ricevuto dalla rivista Monatshefte für Mathematik il 17 novembre 1930. Essi fanno parte dei teoremi limitativi, che precisano le proprietà che i sistemi formali non possono avere. Con l'espressione crisi dei fondamenti della matematica ci si riferisce al fallimento del tentativo di dare una rigorosa giustificazione formale all'insieme di definizioni e deduzioni su cui si basa l'aritmetica (e conseguentemente anche la matematica nella sua interezza), il quale fu seguito all'inizio del Novecento da una radicale revisione dei concetti fondamentali della disciplina. In seguito al grande impulso ricevuto dalla formalizzazione nel corso dell'Ottocento grazie al lavoro di matematici come George Boole, Giuseppe Peano e Richard Dedekind, tra la fine del XIX e l'inizio del XX secolo un nutrito gruppo di studiosi si impegnò nel tentativo di dare una rigorosa fondazione logica ai contenuti delle proposizioni matematiche, con l'obiettivo di produrre una giustificazione assoluta della loro validità (in ciò fu importante specialmente il lavoro di Gottlob Frege); tuttavia l'insorgenza di difficoltà inaspettate (in particolare una serie di paradossi portati alle loro estreme conseguenze da Kurt Gödel nel 1931, Filosofia della matematica), finì per dimostrare l'incompletezza di tutta la matematica. È in generale riconosciuto il ruolo che la crisi dei fondamenti della matematica rivestì nella più ampia crisi che all'inizio del Novecento investì anche la fisica, la psicologia e la filosofia, provocando una perdita di certezze nel campo dell'epistemologia e della filosofia della scienza che portò in ultima analisi al crollo delle teorie filosofiche positiviste. La soluzione definitiva al paradosso di Russell, che costituì anche la risposta a tutti coloro che nei modi più vari avevano tentato di produrre una fondazione certa della matematica, giunse nel 1931, quando il logico austriaco Kurt Gödel dimostrò i suoi due teoremi di incompletezza. Il lavoro di Gödel prendeva le mosse dal Formalismo hilbertiano: il primo importante risultato del giovane austriaco, infatti, fu nel 1930 la dimostrazione del teorema di completezza, in base al quale nella logica del primo ordine una proposizione è vera se e solo se è dimostrabile. Questo risultato dimostrava che, dato un sistema di assiomi e un insieme di regole di deduzione valide per quel sistema, una proposizione vera è sempre dimostrabile in quel sistema (il quale, per questo motivo, è detto completo). Se il teorema di completezza sembrava suggerire che fosse possibile dimostrare la consistenza dei diversi sistemi assiomatici, e quindi arrivare a fondare formalmente la matematica, già nel 1931 Gödel ridimensionò tutte le aspirazioni degli studiosi che aspiravano a questo tipo di fondazione dimostrando i suoi famosi teoremi di incompletezza. La prova di Gödel si articolava in due parti: da un lato, egli dimostrò che se il sistema di assiomi dell'aritmetica è consistente, allora non è completo, cioè che un sistema coerente, in cui non sussistono contraddizioni, contiene delle affermazioni indecidibili (né dimostrabili né confutabili); dall'altro, dimostrò che non è possibile dimostrare la consistenza dell'aritmetica per mezzo del sistema di assiomi dell'aritmetica stessa. Di conseguenza, ogni dimostrazione concernente la validità di un sistema formale deve essere fatta ricorrendo a un diverso sistema formale più “potente“ e complesso di quello di partenza, cioè a un metalinguaggio di “grado“ superiore. Dovendo fondare una teoria, dunque, è sempre necessaria una metateoria che a sua volta non può essere convalidata se non da una meta-metateoria, e così via. Pertanto non esiste una “teoria ultima“ capace di fondare compiutamente l'aritmetica, né a maggior ragione la matematica nella sua interezza.
