Guest
Теорема Менелая Материал из Википедии — свободной энциклопедии Перейти к навигацииПерейти к поиску Теоре́ма Менела́я, или теорема о трансверсалях, или теорема о полном четырёхстороннике, — классическая теорема аффинной геометрии. Содержание 1 Формулировка 1.1 Замечания 2 Вариации и обобщения 3 История 4 Применения 5 См. также 6 Примечания 7 Ссылки Формулировка Teorema Если точки {\displaystyle A’,B’}A’,B’ и {\displaystyle C’}C’ лежат соответственно на сторонах {\displaystyle BC,CA}BC,CA и {\displaystyle AB}AB треугольника {\displaystyle \triangle ABC}\triangle ABC или на их продолжениях[1], то они коллинеарны тогда и только тогда, когда {\displaystyle {\frac {AB’}{B’C}}\cdot {\frac {CA’}{A’B}}\cdot {\frac {BC’}{C’A}}=-1.}{\frac {AB’}{B’C}}\cdot {\frac {CA’}{A’B}}\cdot {\frac {BC’}{C’A}}=-1. где {\displaystyle {\frac {AB’}{B’C}}}{\frac {AB’}{B’C}}, {\displaystyle {\frac {CA’}{A’B}}}{\frac {CA’}{A’B}} и {\displaystyle {\frac {BC’}{C’A}}}{\frac {BC’}{C’A}} обозначают отношения направленных отрезков. Доказательство Замечания В частности, из теоремы следует соотношение для длин отрезков: {\displaystyle {\frac {|AB’|}{|B’C|}}\cdot {\frac {|CA’|}{|A’B|}}\cdot {\frac {|BC’|}{|C’A|}}=1.}{\frac {|AB’|}{|B’C|}}\cdot {\frac {|CA’|}{|A’B|}}\cdot {\frac {|BC’|}{|C’A|}}=1. Вариации и обобщения Тригонометрический эквивалент: {\displaystyle {\frac {\sin \angle BAA’}{\sin \angle A’AC}}\cdot {\frac {\sin \angle CBB’}{\sin \angle B’BA}}\cdot {\frac {\sin \angle ACC’}{\sin \angle C’CB}}=-1}{\frac {\sin \angle BAA’}{\sin \angle A’AC}}\cdot {\frac {\sin \angle CBB’}{\sin \angle B’BA}}\cdot {\frac {\sin \angle ACC’}{\sin \angle C’CB}}=-1, где все углы — ориентированные. В сферической геометрии теорема Менелая приобретает вид {\displaystyle {\frac {\sin |AB’|}{\sin |B’C|}}\cdot {\frac {\sin |CA’|}{\sin |A’B|}}\cdot {\frac {\sin |BC’|}{\sin |C’A|}}=1.}{\frac {\sin |AB’|}{\sin |B’C|}}\cdot {\frac {\sin |CA’|}{\sin |A’B|}}\cdot {\frac {\sin |BC’|}{\sin |C’A|}}=1. В геометрии Лобачевского теорема Менелая приобретает вид {\displaystyle {\frac {\operatorname {sh} |AB’|}{\operatorname {sh} |B’C|}}\cdot {\frac {\operatorname {sh} |CA’|}{\operatorname {sh} |A’B|}}\cdot {\frac {\operatorname {sh} |BC’|}{\operatorname {sh} |C’A|}}=1.}{\frac {\operatorname {sh}|AB’|}{\operatorname {sh}|B’C|}}\cdot {\frac {\operatorname {sh}|CA’|}{\operatorname {sh}|A’B|}}\cdot {\frac {\operatorname {sh}|BC’|}{\operatorname {sh}|C’A|}}=1. История Эта теорема доказывается в третьей книге «Сферики» Менелая Александрийского (около 100 года нашей эры). Менелай сначала доказывает теорему для плоского случая, а потом центральным проектированием переносит её на сферу. Возможно, что плоский случай теоремы рассматривался ранее в несохранившихся «Поризмах» Евклида. Сферическая теорема Менелая была основным средством, с помощью которого решались разнообразные прикладные задачи позднеантичной и средневековой астрономии и геодезии. Ей посвящён ряд сочинений под названием «Книга о фигуре секущих», составленных такими математиками средневекового Востока, как Сабит ибн Корра, ан-Насави, ал-Магриби, ас-Сиджизи, ас-Салар, Джабир ибн Афлах, Насир ад-Дин ат-Туси. Итальянский математик Джованни Чева в 1678 году предложил доказательство теоремы Менелая и родственной ей теоремы Чевы для плоского случая, основанное на рассмотрении центра тяжести системы из трёх точечных грузов.[2] Применения Теорема Сальмона Многие теоремы проективной геометрии, например, теорема Паппа и теорема Дезарга, доказываются многократным применением теоремы Менелая. См. также Прямая Ньютона Теорема Чевы Теорема Ван-Обеля о треугольнике Примечания
